Interpolación (3)

La idea que proponen en numerical recipes para la interpolación de Lagrange es bastante mejor, la idea es definir:

como el valor x del unico polinomio de grado 0 (una constante) que pasa por , entonces , definimos de la misma forma y de forma analoga diremos que como el valor en x del unico polinomio de grado 1 (una recta) que pasa a la vez por y , seguimos definiendo de esta forma todos los polinomios hasta el grado del polinomio de interpolacion que queramos, ya que el polinomio es el unico polinomio de grado N que pasa por todos los puntos que queremos!

Si ponemos los valores de P en una tabla en forma de "arbol" obtenemos lo siguiente:

El algoritmo para obtener hijos a partir de los ancestros de este arbol de llama algoritmo de Neville:



Esto funciona porque los "padres" ya están de acuerdo en .

La siguiente mejora para la recursión es guardar un registro de las diferencias entre padres e hijos, esto es:

Para


Y juntando esto con la ecuacion de Neville obtenemos:


Para cada nivel m en nuestro arbol las Ces y las Des son las correcciones que hay que aplicar para convertir el polinomio en un orden mayor.

Finalmente obtenemos , que es el resultado de mas los Ces y Des que haya en el camino en el árbol tomando siempre el hijo de la derecha.


Las ideas fueron sacadas de Numerical Recipes in C, que como siempre esta mucho mejor explicado que aquí y mucho mas en ingles.